Lateinische und griechisch-lateinische Quadrate

Eulersches Quadrat

Farbige Darstellung eines Eulerschen Quadrates der
Ordnung 4. In jeder Zeile und jeder Spalte kommen
sowohl die kleinen als auch die grossen Quadrate in
jeder Farbe genau einmal vor. Die 16 Kombinationen
sind alle voneinander verschieden.

Ein lateinisches Quadrat ist ein Quadrat aus nxn Feldern, wobei jedes Feld mit je einem von n verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal auftritt. Die Zahl n wird Ordnung des lateinischen Quadrats genannt.

Ein lateinisches Quadrat der Ordnung 9 mit der Zusatzbedingung, dass in den 9 vorliegenden 3x3-Teilquadraten alle Symbole jeweils nur einmal auftreten, führt zum Zahlenrätsel Sudoku.

Aus zwei lateinischen Quadraten lässt sich ein griechisch-lateinisches Quadrat konstruieren, falls die n^2 durch Kombination erhaltenen geordneten Paare nur einmal auftreten. In diesem Fall sagt man, dass die lateinischen Quadrate orthogonal sind. Griechisch-lateinische Quadrate werden auch Eulersche Quadrate genannt.

Lateinische und griechisch-lateinische Quadrate – Geschichte

Der Mathematiker Leonhard Euler befasst sich intensiv mit solchen Quadraten. Als Symbole benutzt er das lateinische und das griechische Alphabet - daher die Namen. Euler entwickelt Methoden für die Konstruktion von griechisch-lateinischen Quadraten ungerader Ordnung und der Ordnung 4k, für k = 1, 2, ... Im Jahre 1779 betrachtet er auch das Problem der 36 Offiziere, das zur Konstruktion eines griechisch-lateinischen Quadrates der Ordnung 6 führen soll. Da dies unmöglich ist und da es auch kein griechisch-lateinisches Quadrat der Ordnung 2 gibt, vermutet er, dass kein griechisch-lateinisches Quadrat der Ordnung 4k + 2, für k = 0, 1, ... existieren kann. Seine Aussage wird 1959 durch die Entdeckung von Gegenbeispielen widerlegt. Im Jahre 1960 publizieren R.C. Bose, E.T. Parker und S.S. Shrikhande eine Arbeit mit dem Beweis, dass griechisch-lateinische Quadrate der Ordnung 4k + 2, für k = 2, 3, ... existieren.

Lateinische und griechisch-lateinische Quadrate – Mathematik

Ein lateinisches Quadrat für eine beliebige Ordnung n lässt sich leicht konstruieren. Die Frage der Existenz von griechisch-lateinischen Quadraten der Ordnung n ist viel komplexer. Es ist bewiesen worden, dass es höchstens n – 1 paarweise orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung n gibt. Die Existenz dieser maximalen Anzahl ist äquivalent zur Existenz einer endlichen projektiven Ebene der Ordnung n.