Parkettierungen

Parkettierung

Bei Parkettierungen geht es darum, mit geometrischen Figuren die Ebene lückenlos und ohne Überlappungen auszufüllen. Man kann sich auf kongruente Polygone beschränken oder auch mehrere verschiedenartige Vielecke betrachten. Wenn man die geometrischen Figuren färbt, können bei der Überdeckung der Ebene schöne Muster entstehen.

Besonders interessante Parkettierungen erhält man mit zwei Rauten der gleichen Seitenlänge und mit einem spitzen Winkel von 36° bzw. 72°. In den 1970er Jahren sind diese und weitere vom Mathematiker und Physiker Roger Penrose entdeckten Parkettierungen auch als Spiele patentiert worden.

Parkettierungen – Geschichte

Das Mosaik, das heisst das Zusammenfügen von farbigen Steinen oder Glasstücken zu flächigen Ornamenten oder Bildern, ist eine schon in der Antike gebräuchliche Kunsttechnik. Es liegt nahe, dass der spielerische Umgang mit Mosaiksteinen ebenso alt ist. Heutzutage sind Mosaikspiele als Kinderspiele noch sehr verbreitet.

Parkettierungen – Mathematik

Es ist eine interessante Frage, welche Polygone die Ebene ausfüllen. Jedes beliebige Dreieck füllt die Ebene aus. Es genügt, mit dem an einem Seitenmittelpunkt gespiegelten Dreieck ein Parallelogramm und aus den Parallelogrammen Streifen zu bilden; diese füllen die Ebene aus. Analog sieht man, dass auch beliebige Vierecke Parkettierungen erlauben. Die Ebene kann aber nicht mit beliebigen Fünfecken oder Sechsecken überdeckt werden.

Von besonderem Interesse sind symmetrische Parkettierungen, die durch Drehungen, Spiegelungen und Translationen in sich übergehen. Im Jahre 1924 haben Georg Polya und Paul Niggli unabhängig voneinander gezeigt, dass man alle symmetrischen Parkettierungen nach 17 Mustern klassifizieren kann. Weiter ist die Periodizität, das heisst die Invarianz bezüglich Translation, ein wichtiges Thema. Die Entdeckung von aperiodischen Parkettierungen in den frühen 1970er Jahren durch Roger Penrose und andere hat später zu wichtigen Entwicklungen bei der Untersuchung der Quasikristalle geführt.