Euklid – die Konstruktion des Goldenen Schnittes

Ausschnitt aus Euklids "Elementen" (Ausgabe von 1482)

Die in 13 Büchern, das heisst 13 Kapiteln abgefassten "Elemente" (Link verlässt diese Seite) (Ausgabe von 1482) sind das berühmteste und wissenschaftlich bedeutsamste Werk des griechischen Mathematikers Euklid. Nach der Bibel sind sie wohl das am meisten gedruckte und studierte Buch in der Geschichte der westlichen Welt.

Noch heute beruht ein grosser Teil des mathematischen und geometrischen Elementarunterrichts auf der euklidischen Tradition. Euklids "Elemente" stellen die Geometrie als ein logisch in sich geschlossenes System dar, das auf wenigen Definitionen, Postulaten und Axiomen aufgebaut ist. Neben der systematischen Darstellung der geometrischen Grundbegriffe enthält es alles, was zu jener Zeit über die Zahlentheorie bekannt war. Hier stehen auch zum ersten Mal wichtige Resultate zu den Primzahlen.

  • Die Bücher 1 bis 4 behandeln die ebene Geometrie und führen von den elementarsten Eigenschaften von Punkten, Strecken und Winkeln unter anderem auch zum Satz des Pythagoras. In der oben abgebildeten Proposition 11 des zweiten Buches wird die Konstruktion der "Teilung einer Strecke nach dem äusseren und mittleren Verhältnis", das heisst nach der Proportion des heute so genannten Goldenen Schnittes erklärt.
  • Die Bücher 5 und 6 befassen sich mit der Proportionen- und Ähnlichkeitslehre. Am Anfang des sechsten Buches findet sich auch die Definition der "Teilung einer Strecke nach dem äusseren und mittleren Verhältnis".
  • Die Bücher 7 bis 9 sind der Arithmetik, das heisst den Eigenschaften der natürlichen Zahlen gewidmet. Hier kann man den "Euklidischen Algorithmus" finden, der dazu dient, den grössten gemeinsamen Teiler von zwei gegebenen ganzen Zahlen zu bestimmen.
  • Das zehnte Buch behandelt die inkommensurablen, das heisst irrationalen Zahlen.
  • Die Bücher 11 bis 13 schliesslich befassen sich mit räumlicher Geometrie und den fünf regulären (platonischen) Körpern.

Wie eine Aufgabe aus dem "Liber abaci" zeigt, kannte Fibonacci – in der Tradition Euklids – den Begriff der Proportion nach dem erst im 19. Jahrhundert so genannten Goldenen Schnitt. Er stellte aber keinen Zusammenhang zwischen diesem Verhältnis und der Folge der Zahlen, die er in der Kaninchenaufgabe gefunden hatte.